Vertauschen von Grenzübergängen

Darf man Grenzübergänge einfach vertauschen?

In dieser Aufgabe geht es um die Frage, ob die Reihenfolge von Grenzwerten eine Rolle spielt oder nicht.
Darf man Grenzwerte einfach vertauschen oder ändert sich dann das Ergebnis.

Die nachfolgende Aufgabe ist ein typisches Beispiel für dieses Problem.

Aufgabe

Ist die Gleichung

    \[ \lim\limits_{x \rightarrow \infty }{ \lim\limits_{y \rightarrow \infty } \frac { x - y }{ x + y }} = { \lim\limits_{y \rightarrow \infty }{ \lim\limits_{x \rightarrow \infty } \frac { x - y }{ x + y }}} \]

so richtig? D.h. darf man die die Grenzwerte so einfach austauschen?

Hier geht es zur Lösung